微分積分例

$3 x^{5} - 9 x^{4} - 28 x^{3} + 84 x^{2} + 9 x - 27 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

項を再分類します。

$3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.2

$x$ を $3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ を $3 x^{5}$ で因数分解します。

$x (3 x^{4}) - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.2.2

$x$ を $- 28 x^{3}$ で因数分解します。

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ を $9 x$ で因数分解します。

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ を $x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2})$ で因数分解します。

$x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.2.5

$x$ を $x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9$ で因数分解します。

$x (3 x^{4} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (3 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.5

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ で和が $b = - 28$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$- 28$ を $- 28 u$ で因数分解します。

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.5.1.2

$- 28$ を $- 1$ プラス $- 27$ に書き換える

$x (3 u^{2} + (- 1 - 27) u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$x (3 u^{2} - 1 u - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x ((3 u^{2} - 1 u) - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (u (3 u - 1) - 9 (3 u - 1)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.5.3

最大公約数 $3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x ((3 u - 1) (u - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2})) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.8

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x ((3 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3))) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.8.1.2

不要な括弧を削除します。

$x ((3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.8.2

不要な括弧を削除します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.9

$3$ を $- 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$3$ を $- 9 x^{4}$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 84 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 1.9.2

$3$ を $84 x^{2}$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) - 27 = 0$

ステップ 1.9.3

$3$ を $- 27$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

ステップ 1.9.4

$3$ を $3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2})$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

ステップ 1.9.5

$3$ を $3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9)$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2} - 9) = 0$

ステップ 1.10

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 28 x^{2} - 9) = 0$

ステップ 1.11

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 u - 9) = 0$

ステップ 1.12

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 3 \cdot - 9 = 27$ で和が $b = 28$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1.1

$28$ を $28 u$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 (u) - 9) = 0$

ステップ 1.12.1.2

$28$ を $1$ プラス $27$ に書き換える

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + (1 + 27) u - 9) = 0$

ステップ 1.12.1.3

分配則を当てはめます。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 1 u + 27 u - 9) = 0$

ステップ 1.12.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + u + 27 u - 9) = 0$

ステップ 1.12.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u^{2} + u) + 27 u - 9) = 0$

ステップ 1.12.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (u (- 3 u + 1) - 9 (- 3 u + 1)) = 0$

ステップ 1.12.3

最大公約数 $- 3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u + 1) (u - 9)) = 0$

ステップ 1.13

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 9)) = 0$

ステップ 1.14

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

ステップ 1.15

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.15.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.15.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

ステップ 1.15.1.2

不要な括弧を削除します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 1.15.2

不要な括弧を削除します。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 1.16

$(x + 3) (x - 3)$ を $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1

$(x + 3) (x - 3)$ を $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 1.16.2

$(x + 3) (x - 3)$ を $3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.16.3

$(x + 3) (x - 3)$ を $(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1))$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1) + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.17

分配則を当てはめます。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.18

積の可換性を利用して書き換えます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.19

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.20

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.20.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.20.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.20.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.20.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.20.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2 + 1} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.20.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.20.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 1.21

分配則を当てはめます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

ステップ 1.22

$- 3$ に $3$ をかけます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

ステップ 1.23

$3$ に $1$ をかけます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3) = 0$

ステップ 1.24

項を並べ替えます。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3) = 0$

ステップ 1.25

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.25.1

因数分解した形で $3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.25.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.25.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 3) (x - 3) ((3 x^{3} - 9 x^{2}) - x + 3) = 0$

ステップ 1.25.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2} (x - 3) - (x - 3)) = 0$

ステップ 1.25.1.2

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (3 x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 1.25.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (3 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.26

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.26.1

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.26.2

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.26.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (3 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.26.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5

$3 x^{2} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$3 x^{2} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $3 x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x^{2} = 1$

ステップ 5.2.2

$3 x^{2} = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3 x^{2} = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 5.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.2.4.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 5.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 6

最終解は $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$x = - 3, 3, 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

微分積分 例

微分積分例