微分積分例

$1 + {(- x^{- \frac{1}{3}} {(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 1

項を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + {(- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} {(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 1.1.2

${(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$1 + {(- \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$

ステップ 1.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.1.3.1

積の法則を $- \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ に当てはめます。

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$

ステップ 1.1.3.2

積の法則を $\frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ に当てはめます。

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 1 \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$\frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

${({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1.2.1

共通因数を約分します。

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.1.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{1}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

簡約します。

$1 + \frac{16 - x^{\frac{2}{3}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{4^{2} - x^{\frac{2}{3}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4

$x^{\frac{2}{3}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{4^{2} - {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = x^{\frac{1}{3}}$ です。

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 1.1.7

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

1つの分数にまとめます。

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ステップ 1.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + (4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})$ を展開します。

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ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 (4 - x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot 4 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot 4 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.1.3

$4$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.1.5

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.5.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.1.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1 + 1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.2

$- 4 x^{\frac{1}{3}}$ と $4 x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 + 0 - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.3

$16$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.3

$x^{\frac{2}{3}}$ から $x^{\frac{2}{3}}$ を引きます。

$\frac{0 + 16}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4

$0$ と $16$ をたし算します。

$\frac{16}{x^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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