微分積分例

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{3}{2}$ を引きます。

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$8 x^{3}$ を ${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.1.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.1.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.1

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.1.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.1.4.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.1.4.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.2

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ プラス $- 3$ に書き換える

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.2.3

最大公約数 $x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.3

$2 x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.2

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

ステップ 2.3

$- \frac{3}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{3}{2}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.4.3

$(x + 1) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6.2

簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6.2.3

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6.5

$12 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 2.6.6

$18$ から $3$ を引きます。

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 8$ 、 $b = 9$ 、および $c = 15$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 8 \cdot 15$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.1.2.2

$- 32$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.1.3

$81$ から $480$ を引きます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.1.4

$- 399$ を $- 1 (399)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.1.5

$\sqrt{- 1 (399)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.2

$2$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

ステップ 8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

ステップ 10

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 (x + 1) = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

$2 (x + 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$2 (x + 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 10.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 10.2.1.2.1.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$x + 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 10.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x + 1 = 0$

ステップ 10.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 1$

区間記号：

$(- \infty, - 1)$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例