微分積分例

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

ステップ 1

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 3 u + 2$ を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u - 1) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 3.3

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 3.4

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 3.5

最終解は $(u - 2) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2, 1$

ステップ 4

$2$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 = e^{x}$

ステップ 5

$2 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x} = 2$ として書き換えます。

$e^{x} = 2$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

ステップ 5.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (2)$

ステップ 5.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

ステップ 5.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (2)$

ステップ 6

$1$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$1 = e^{x}$

ステップ 7

$1 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = 1$ として書き換えます。

$e^{x} = 1$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

ステップ 7.3

左辺を展開します。

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ステップ 7.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (1)$

ステップ 7.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (1)$

ステップ 7.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (1)$

ステップ 7.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (2), 0$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $1.61230978$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.2

区間 $0 < x < \ln (2)$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $0 < x < \ln (2)$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.35$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0.35$ で置き換えます。

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 0.24344993$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.3

区間 $x > \ln (2)$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > \ln (2)$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $345.17218272$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \ln (2)$ 真

$x > \ln (2)$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < \ln (2)$ 真

$x > \ln (2)$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < \ln (2)$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < \ln (2)$

区間記号：

$(0, \ln (2))$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例