微分積分例

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} < 1$

ステップ 1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 < 0$

ステップ 2

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 - x}{2 - x}$ を掛けます。

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

ステップ 2.2

$- 1$ と $\frac{2 - x}{2 - x}$ をまとめます。

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x} < 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{| 2 x - 1 | - (2 - x)}{2 - x} < 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{| 2 x - 1 | - 1 \cdot 2 - - x}{2 - x} < 0$

ステップ 2.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 - - x}{2 - x} < 0$

ステップ 2.4.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + 1 x}{2 - x} < 0$

ステップ 2.4.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + x}{2 - x} < 0$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + | 2 x - 1 | - 2 = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 4

$| 2 x - 1 |$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$| 2 x - 1 | - 2 = - x$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$| 2 x - 1 | = - x + 2$

ステップ 5

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$2 x - 1 = \pm (- x + 2)$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$2 x - 1 = - x + 2$

ステップ 6.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$2 x - 1 + x = 2$

ステップ 6.2.2

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$3 x - 1 = 2$

ステップ 6.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 2 + 1$

ステップ 6.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3 x = 3$

ステップ 6.4

$3 x = 3$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$3 x = 3$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 6.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{3}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

$3$ を $3$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 6.5

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

ステップ 6.6

$- (- x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 6.6.1

書き換えます。

$2 x - 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

ステップ 6.6.2

0を加えて簡約します。

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

ステップ 6.6.3

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = - - x - 1 \cdot 2$

ステップ 6.6.4

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 6.6.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x - 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

ステップ 6.6.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 = x - 1 \cdot 2$

ステップ 6.6.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x - 1 = x - 2$

ステップ 6.7

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.7.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 x - 1 - x = - 2$

ステップ 6.7.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$x - 1 = - 2$

ステップ 6.8

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.8.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = - 2 + 1$

ステップ 6.8.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$x = - 1$

ステップ 6.9

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 7

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 8

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 8.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 9

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1, - 1$

$x = 2$

ステップ 10

解をまとめます。

$x = 1, - 1, 2$

ステップ 11

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 - x = 0$

ステップ 11.2

$x$ について解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 11.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 11.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 11.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 11.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 11.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 12

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 13

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 13.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 13.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{| 2 (- 4) - 1 |}{2 - (- 4)} < 1$

ステップ 13.1.3

左辺 $1.5$ は右辺 $1$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 13.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 13.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{| 2 (0) - 1 |}{2 - (0)} < 1$

ステップ 13.2.3

左辺 $0.5$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 13.3

区間 $1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

区間 $1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.5$

ステップ 13.3.2

$x$ を元の不等式の $1.5$ で置き換えます。

$\frac{| 2 (1.5) - 1 |}{2 - (1.5)} < 1$

ステップ 13.3.3

左辺 $4$ は右辺 $1$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 13.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 13.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{| 2 (4) - 1 |}{2 - (4)} < 1$

ステップ 13.4.3

左辺 $- 3.5$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 13.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 14

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 1$ または $x > 2$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 1 < x < 1 or x > 2$

区間記号：

$(- 1, 1) \cup (2, \infty)$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例