微分積分例

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $6 x$ を引きます。

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

ステップ 2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = y^{3}$ 、 $b = - 2 y - 6$ 、および $c = - y - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.3

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.4

括弧を付けます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5

$u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ とします。 $u$ を $y^{3} \cdot (- y - 1)$ に代入します。

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ステップ 5.5.1

${(- 2 y - 6)}^{2}$ を $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ を展開します。

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ステップ 5.5.2.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.2.2

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.2.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3.1.4

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3.1.5

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3.1.6

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.5.3.2

$12 y$ と $12 y$ をたし算します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.6

$4$ を $4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$4$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.6.2

$4$ を $24 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.6.3

$4$ を $36$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.6.5

$4$ を $4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.6.6

$4$ を $4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.6.7

$4$ を $4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.7

$u$ のすべての発生を $y^{3} \cdot (- y - 1)$ で置き換えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8

各項を簡約します。

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ステップ 5.8.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.3

$- 1$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.8.4.1

指数を足して $y^{3}$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 5.8.4.1.1

$y$ を移動させます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.4.1.2

$y$ に $y^{3}$ をかけます。

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ステップ 5.8.4.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.4.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.4.2

$- 1 y^{3}$ を $- y^{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.5

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.6

$- - y^{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.8.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.6.2

$y^{4}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.7

$- - y^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.8.7.2

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.9

項を並べ替えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.10

$4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ を $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ に書き換えます。

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ステップ 5.10.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.10.2

$y^{4}$ を ${(y^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.11

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.12

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.12.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

ステップ 5.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

微分積分 例

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