微分積分例

$x^{3} - 4 x < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 4 x = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3

因数分解。

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ステップ 2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7

最終解は $x (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} - 4 \cdot - 4 < 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 48$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

${(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1 < 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

${(1)}^{3} - 4 \cdot 1 < 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} - 4 \cdot 4 < 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $48$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $0 < x < 2$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 2 or 0 < x < 2$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例