微分積分例

$- 2 x^{2} + 4000 x > 700000$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$- 2 x^{2} + 4000 x = 700000$

ステップ 2

方程式の両辺から $700000$ を引きます。

$- 2 x^{2} + 4000 x - 700000 = 0$

ステップ 3

$- 2$ を $- 2 x^{2} + 4000 x - 700000$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$- 2$ を $4000 x$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 700000 = 0$

ステップ 3.2

$- 2$ を $- 700000$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

ステップ 3.3

$- 2$ を $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2000 x)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

ステップ 3.4

$- 2$ を $- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 (350000)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$

ステップ 4

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 4.2.1.2

$x^{2} - 2000 x + 350000$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 2000 x + 350000 = \frac{0}{- 2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} - 2000 x + 350000 = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = 1$ 、 $b = - 2000$ 、および $c = 350000$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2000 \pm \sqrt{{(- 2000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 350000)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 2000$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 350000$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ に $350000$ をかけます。

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 1400000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$4000000$ から $1400000$ を引きます。

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{2600000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

$2600000$ を $200^{2} \cdot 65$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.4.1

$40000$ を $2600000$ で因数分解します。

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{40000 (65)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4.2

$40000$ を $200^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$ を簡約します。

$x = 1000 \pm 100 \sqrt{65}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1000 + 100 \sqrt{65}, 1000 - 100 \sqrt{65}$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 2 {(0)}^{2} + 4000 (0) > 700000$

ステップ 10.1.3

左辺 $0$ は右辺 $700000$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.2

区間 $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 196$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $196$ で置き換えます。

$- 2 {(196)}^{2} + 4000 (196) > 700000$

ステップ 10.2.3

左辺 $707168$ は右辺 $700000$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.3

区間 $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1809$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $1809$ で置き換えます。

$- 2 {(1809)}^{2} + 4000 (1809) > 700000$

ステップ 10.3.3

左辺 $691038$ は右辺 $700000$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ 偽

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ 真

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ 偽

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ 偽

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ 真

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

区間記号：

$(1000 - 100 \sqrt{65}, 1000 + 100 \sqrt{65})$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例