微分積分例

$2 x^{2} + 1 < 9 x - 3$

ステップ 1

不等式の両辺から $9 x$ を引きます。

$2 x^{2} + 1 - 9 x < - 3$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 1 - 9 x = - 3$

ステップ 3

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x^{2} + 1 - 9 x + 3 = 0$

ステップ 4

$1$ と $3$ をたし算します。

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

ステップ 5

群による因数分解。

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ステップ 5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ で和が $b = - 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.1.1

$- 9$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

ステップ 5.1.2

$- 9$ を $- 1$ プラス $- 8$ に書き換える

$2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4 = 0$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4 = 0$

ステップ 5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4 = 0$

ステップ 5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = 0$

ステップ 5.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 1) (x - 4) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 7

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 7.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 8

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 9

最終解は $(2 x - 1) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, 4$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} + 1 < 9 (0) - 3$

ステップ 11.1.3

左辺 $1$ は右辺 $- 3$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $\frac{1}{2} < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{1}{2} < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$2 {(2)}^{2} + 1 < 9 (2) - 3$

ステップ 11.2.3

左辺 $9$ は右辺 $15$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$2 {(6)}^{2} + 1 < 9 (6) - 3$

ステップ 11.3.3

左辺 $73$ は右辺 $51$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1}{2} < x < 4$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{1}{2} < x < 4$

区間記号：

$(\frac{1}{2}, 4)$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例