微分積分例

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

ステップ 1

方程式を $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ として書き換えます。

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

ステップ 2

たすき掛けします。

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ステップ 2.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

ステップ 2.2.1.2

$x$ を $2 x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

ステップ 2.2.1.2.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

ステップ 2.2.1.2.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (- x)$ で因数分解します。

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x (2 - x)}$ を ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

並べ替えます。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.1.3.1

積の法則を $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.3.2

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.5

${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.5.2.2

式を書き換えます。

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.6

簡約します。

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.7

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 4.2.1.7.1

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.7.2

並べ替えます。

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ステップ 4.2.1.7.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.7.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.8

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.8.1

$4$ に $2$ をかけます。

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.2.1.8.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

ステップ 5.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3

$a = - 4 y^{2}$ 、 $b = 8 y^{2}$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$- 4 \cdot - 4 y^{2}$ を ${(4 y)}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 8 y^{2}$ であり、 $b = 4 y$ です。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.3

簡約します。

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ステップ 5.4.1.3.1

$4 y$ を $8 y^{2} + 4 y$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1.3.1.1

$4 y$ を $8 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.3.1.2

$4 y$ を $4 y$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.3.1.3

$4 y$ を $4 y (2 y) + 4 y (1)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.4

$4 y$ を $8 y^{2} - 4 y$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1.4.1

$4 y$ を $8 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.4.2

$4 y$ を $- 4 y$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.4.3

$4 y$ を $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.5

指数をまとめます。

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ステップ 5.4.1.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.5.2

$y$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.5.3

$y$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.6

$16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ を ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.1.6.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.6.2

$4^{2} y^{2}$ を ${(4 y)}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.6.3

括弧を付けます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

ステップ 5.4.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

ステップ 5.4.3

$\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ を簡約します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

ステップ 5.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

微分積分 例

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