微分積分例

$\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{0.5}$ を $x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

ステップ 2.1.2

$x^{0.5}$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

ステップ 2.1.3

$x^{0.5}$ を $5 x^{1.5}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

ステップ 2.1.4

$x^{0.5}$ を $x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

ステップ 2.1.5

$x^{0.5}$ を $x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{1.5}}]$

ステップ 2.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{0.5}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5} x^{- 0.5}}]$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

指数を足して $x^{1.5}$ に $x^{- 0.5}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5 - 0.5}}]$

ステップ 3.1.2

$1.5$ から $0.5$ を引きます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1}}]$

ステップ 3.2

$x^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x}]$

ステップ 4

$f (x) = 1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{1.5} + 5 x] - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{1.5}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.5

$n = 1.5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.6

$1.5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \cdot 1) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.9

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 5.11

分数をまとめます。

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ステップ 5.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$

ステップ 5.11.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 3 x \cdot x^{0.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

指数を足して $x$ に $x^{0.5}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$x^{0.5}$ を移動させます。

$\frac{- 3 (x^{0.5} x) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2

$x^{0.5}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 6.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 3 (x^{0.5} x^{1}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 3 x^{0.5 + 1} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.3

$0.5$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{1.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 \cdot x - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - (5 x)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.1.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.2

$- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.3.2.1

$5 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5} + 0}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.3

$- 3 x^{1.5}$ と $2 x^{1.5}$ をたし算します。

$\frac{- 1 x^{1.5} - 1}{2 x^{2}}$

ステップ 6.4

$- 1$ を $- 1 x^{1.5}$ で因数分解します。

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1}{2 x^{2}}$

ステップ 6.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1 (1)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.6

$- 1$ を $- (1 x^{1.5}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.7

$- (1 x^{1.5} + 1)$ を $- 1 (1 x^{1.5} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$

ステップ 6.9

$x^{1.5}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$

微分積分 例

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