微分積分例

$\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x} - 1 - x$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $e^{x} - 1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1 \cdot 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 4.7

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.7.2

$x$ を $x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x$ で因数分解します。

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ステップ 4.7.2.1

$x$ を $x^{2} (e^{x} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.7.2.2

$x$ を $- 2 (e^{x} - 1 - x) x$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

ステップ 4.7.2.3

$x$ を $x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x e^{x} - 1 \cdot x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 - 2 (- x)}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 + 2 x}{x^{3}}$

ステップ 6.3.2

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x e^{x} + x - 2 e^{x} + 2}{x^{3}}$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 6.5

$\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{x} + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$

微分積分 例

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