微分積分例

${(x^{4} + 3 x)}^{- 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4} + 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 3 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

ステップ 1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 3 x$ で置き換えます。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{4} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \cdot 1)$

ステップ 2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$ の因数を並べ替えます。

$- (4 x^{3} + 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$(- (4 x^{3}) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(- 4 x^{3} - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

ステップ 3.6

分母を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$x$ を $x^{4} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + 3 x)}^{2}}$

ステップ 3.6.1.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + x \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 3.6.1.3

$x$ を $x \cdot x^{3} + x \cdot 3$ で因数分解します。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x (x^{3} + 3))}^{2}}$

ステップ 3.6.2

積の法則を $x (x^{3} + 3)$ に当てはめます。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 4 x^{3} - 3$ に $\frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 4 x^{3} - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x^{3}) - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{- (4 x^{3}) - 1 (3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.10

$- 1$ を $- (4 x^{3}) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.11

$- (4 x^{3} + 3)$ を $- 1 (4 x^{3} + 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x^{3} + 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例