微分積分例

${(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = x^{4} - \frac{7}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} - \frac{7}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

ステップ 1.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} - \frac{7}{x}$ で置き換えます。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{4} - \frac{7}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ です。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

ステップ 2.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{7}{x}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.4

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 (- x^{- 2}))$

ステップ 2.6

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$- 4$ と $\frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.3.3

$7$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$

ステップ 3.4

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$- (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.5

分配則を当てはめます。

$(- (4 x^{3}) - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$x^{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x}{x} - \frac{7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.7.2

公分母の分子をまとめます。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x - 7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.7.3

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.7.3.1

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.7.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x^{1} - 7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.7.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4 + 1} - 7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.7.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{5} - 7}{x})}^{5}}$

ステップ 3.7.4

積の法則を $\frac{x^{5} - 7}{x}$ に当てはめます。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{\frac{{(x^{5} - 7)}^{5}}{x^{5}}}$

ステップ 3.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 \frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}})$

ステップ 3.9

$4$ と $\frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ をまとめます。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.10

$- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}$ に $\frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ をかけます。

$\frac{(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 x^{5})}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11

分子を簡約します。

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ステップ 3.11.1

$- 4 x^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{(- 4 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.2

$- 4 x^{3}$ と $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{(\frac{- 4 x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 4 x^{3} x^{2} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.11.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{\frac{- 4 (x^{2} x^{3}) - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2 + 3} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.4.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.5

指数をまとめます。

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ステップ 3.11.5.1

$\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}} x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.5.2

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.11.6.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}$ を約分します。

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ステップ 3.11.6.1.1

$x^{2}$ を $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.6.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.6.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.6.1.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.11.6.2

$(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.12

$4$ を $- 4 x^{5} - 7$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (- 4 x^{5} - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.13

$- 1$ を $- 4 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.14

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 1 (7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.15

$- 1$ を $- (4 x^{5}) - 1 (7)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.16

$- (4 x^{5} + 7)$ を $- 1 (4 x^{5} + 7)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- 1 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

ステップ 3.18

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{(4) x^{3} (4 x^{5} + 7)}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

微分積分 例

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