微分積分例

${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 5.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 6

$\frac{5}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 7

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 9

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (- (2 x))$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (- 2 x)$

ステップ 12.2

$- 2$ と $\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{2} x$

ステップ 12.3

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} x$

ステップ 12.4

$\frac{- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x}{2}$

ステップ 12.5

$2$ を $- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$

ステップ 13

共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x)}{2 (1)}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x}{1}$

ステップ 13.4

$- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$ を $1$ で割ります。

$- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$

ステップ 14

$- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- 5 x {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$

微分積分 例

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