微分積分例

${(1 + x)}^{\cot (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + x)}^{\cot (x)}$ を $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}]$

ステップ 1.2

$\cot (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\cot (x) \ln (1 + x)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cot (x) \ln (1 + x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cot (x) \ln (1 + x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cot (x) \ln (1 + x)$ で置き換えます。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

ステップ 3

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \ln (1 + x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + x$ とします。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{1 + x}$ と $\cot (x)$ をまとめます。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 5.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 5.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 5.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \cdot 1 + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 5.6

$\frac{\cot (x)}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 7

$\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x}{1 + x}$ を掛けます。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \frac{\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x})$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$

ステップ 9

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$ と $\frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 10.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) \cdot 1 - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

ステップ 10.1.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

ステップ 10.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x)) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

ステップ 10.1.3

簡約します。

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ステップ 10.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

ステップ 10.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x}{1 + x}$

ステップ 10.1.4

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - x e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x)}{1 + x}$

ステップ 10.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \csc^{2} (x) \ln (1 + x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} x \csc^{2} (x) \ln (1 + x)}{x + 1}$

微分積分 例

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