微分積分例

$\frac{1 - 6 x}{e^{3 x}}$

ステップ 1

$f (x) = 1 - 6 x$ および $g (x) = e^{3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(e^{3 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $1 - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ をたし算します。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [- 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.5

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{3 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{3 x} (- 6 \cdot 1) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 6$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3 x} \cdot - 6 - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 2.7.2

$- 6$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$\frac{- 6 \cdot e^{3 x} - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

ステップ 4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

ステップ 4.4

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 6 e^{3 x} + (- 3 \cdot 1 - 3 (- 6 x)) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 \cdot 1 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.3.1.2

$- 6$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.3.2

$- 6 e^{3 x}$ から $3 e^{3 x}$ を引きます。

$\frac{- 9 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.5

$9 e^{3 x}$ を $18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$9 e^{3 x}$ を $18 e^{3 x} x$ で因数分解します。

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

ステップ 5.5.2

$9 e^{3 x}$ を $- 9 e^{3 x}$ で因数分解します。

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)}{e^{6 x}}$

ステップ 5.5.3

$9 e^{3 x}$ を $9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{9 e^{3 x} (2 x - 1)}{e^{6 x}}$

ステップ 5.6

$e^{3 x}$ と $e^{6 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$e^{6 x}$ を $9 e^{3 x} (2 x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x}}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

ステップ 5.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

ステップ 5.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9 e^{- 3 x} (2 x - 1)}{1}$

ステップ 5.6.2.4

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$ を $1$ で割ります。

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$

ステップ 5.7

分配則を当てはめます。

$9 e^{- 3 x} (2 x) + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

ステップ 5.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

ステップ 5.9

$- 1$ に $9$ をかけます。

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

ステップ 5.10

$9$ に $2$ をかけます。

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

ステップ 5.11

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$18 x e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x}$

微分積分 例

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