微分積分例

${(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 1 - \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - \cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - \cos (x)$ で置き換えます。

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))$

ステップ 4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 (1 - \cos (x)) \sin (x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

ステップ 5.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$

微分積分 例

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