微分積分例

$(3 x + 1) (5 x^{2} - 6 x + 3)$

ステップ 1

$f (x) = 3 x + 1$ および $g (x) = 5 x^{2} - 6 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(3 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 6 x + 3] + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{2} - 6 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(3 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.4

$2$ に $5$ をかけます。

$(3 x + 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.5

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 x + 1) (10 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x + 1) (10 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.7

$- 6$ に $1$ をかけます。

$(3 x + 1) (10 x - 6 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.8

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x + 1) (10 x - 6 + 0) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.9

$10 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.10

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.11

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.13

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + 0)$

ステップ 2.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \cdot 3$

ステップ 2.15.2

$3$ を $5 x^{2} - 6 x + 3$ の左に移動させます。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 \cdot (5 x^{2} - 6 x + 3)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$(3 x + 1) (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$10$ に $3$ をかけます。

$30 x \cdot x + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$30 (x^{1} x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$30 (x^{1} x^{1}) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$30 x^{1 + 1} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$30 x^{2} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.6

$10$ に $1$ をかけます。

$30 x^{2} + 10 x + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.7

$- 6$ に $3$ をかけます。

$30 x^{2} + 10 x - 18 x + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.8

$- 6$ に $1$ をかけます。

$30 x^{2} + 10 x - 18 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.9

$10 x$ から $18 x$ を引きます。

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.10

$5$ に $3$ をかけます。

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.11

$- 6$ に $3$ をかけます。

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 3$

ステップ 3.5.12

$3$ に $3$ をかけます。

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 9$

ステップ 3.5.13

$30 x^{2}$ と $15 x^{2}$ をたし算します。

$45 x^{2} - 8 x - 6 - 18 x + 9$

ステップ 3.5.14

$- 8 x$ から $18 x$ を引きます。

$45 x^{2} - 26 x - 6 + 9$

ステップ 3.5.15

$- 6$ と $9$ をたし算します。

$45 x^{2} - 26 x + 3$

微分積分 例

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