微分積分例

$3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$

ステップ 1

総和則では、 $3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} \sec (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x))) + 3 (\sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

ステップ 4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 6 \sec (x) x + \cos (x)$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.2

$3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.2.1

$3$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.2.2

$x^{2}$ と $\frac{3}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.3

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.4

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.5

まとめる。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.6

分母を簡約します。

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ステップ 4.4.6.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.6.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

ステップ 4.4.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.4.8

$6 x \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.8.1

$6$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.4.8.2

$x$ と $\frac{6}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 6}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.4.9

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.2

分数を分解します。

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.4

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.5

分数を分解します。

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.7

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.8

簡約します。

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ステップ 4.5.8.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.8.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.5.9

$3 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 4.6

$3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} \tan (x) \sec (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

微分積分 例

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