微分積分例

$(3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{3} + 1$ および $g (x) = {(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(3 x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [{(- 4 x^{2} - 3)}^{4}] + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = - 4 x^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 4 x^{2} - 3$ とします。

$(3 x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{3} + 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 4 x^{2} - 3$ で置き換えます。

$(3 x^{3} + 1) (4 {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$4$ を $3 x^{3} + 1$ の左に移動させます。

$4 \cdot (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3] + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.2

総和則では、 $- 4 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x + 0) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 8 x$ と $0$ をたし算します。

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.7.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 3.8

総和則では、 $3 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.10

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.11

$3$ に $3$ をかけます。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2} + 0)$

ステップ 3.13

式を簡約します。

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ステップ 3.13.1

$9 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2})$

ステップ 3.13.2

$9$ を ${(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$ の左に移動させます。

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 \cdot {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(- 32 (3 x^{3}) - 32 \cdot 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

ステップ 4.2

$3$ に $- 32$ をかけます。

$(- 96 x^{3} - 32 \cdot 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

ステップ 4.3

$- 32$ に $1$ をかけます。

$(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

ステップ 4.4

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ を $(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ を $(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ で因数分解します。

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

ステップ 4.4.2

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ を $9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$ で因数分解します。

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (9 (- 4 x^{2} - 3) x)$

ステップ 4.4.3

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ を ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (9 (- 4 x^{2} - 3) x)$ で因数分解します。

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$

ステップ 4.5

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$ の因数を並べ替えます。

$x {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$

微分積分 例

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