微分積分例

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = 4 x + 1$ および $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$3$ を $4 x + 1$ の左に移動させます。

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.8

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 3.9

総和則では、 $4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.12

$4$ に $1$ をかけます。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

ステップ 3.14

式を簡約します。

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ステップ 3.14.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

ステップ 3.14.2

$4$ を ${(1 - x)}^{3}$ の左に移動させます。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

ステップ 4.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

ステップ 4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

ステップ 4.4

${(1 - x)}^{2}$ を $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

${(1 - x)}^{2}$ を $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ で因数分解します。

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

ステップ 4.4.2

${(1 - x)}^{2}$ を $4 {(1 - x)}^{3}$ で因数分解します。

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

ステップ 4.4.3

${(1 - x)}^{2}$ を ${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ で因数分解します。

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.5

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.6

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 4.6.1

分配則を当てはめます。

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.6.2

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.6.3

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.7.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.7.1.5.1

$x$ を移動させます。

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.7.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

ステップ 4.8

各項を簡約します。

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ステップ 4.8.1

分配則を当てはめます。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

ステップ 4.8.2

$4$ に $1$ をかけます。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

ステップ 4.8.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

ステップ 4.9

$- 12 x$ から $4 x$ を引きます。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

ステップ 4.10

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

ステップ 4.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ を展開します。

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12

各項を簡約します。

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ステップ 4.12.1

$- 16 x$ に $1$ をかけます。

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.2

$1$ に $1$ をかけます。

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.12.4.1

$x$ を移動させます。

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.5

$- 2$ に $- 16$ をかけます。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.12.8.1

$x$ を移動させます。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.12.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.12.9

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

ステップ 4.13

$- 16 x$ から $2 x$ を引きます。

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

ステップ 4.14

$32 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$

微分積分 例

微分積分例