微分積分例

$\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$

ステップ 1

$50$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$ の微分係数は $50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$ です。

$50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 0.01 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$0.01 x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $0.01 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$0.01$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.01 x^{2}$ の微分係数は $0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$2$ に $0.01$ をかけます。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + 0)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$0.02 x$ と $0$ をたし算します。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$0.02$ に $- 1$ をかけます。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x \cdot x}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x^{1})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{1 + 1}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{2}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 8

$0.01 x^{2}$ から $0.02 x^{2}$ を引きます。

$50 \frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 9

$50$ と $\frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{50 (- 0.01 x^{2} + 1)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{50 (- 0.01 x^{2}) + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 0.01$ に $50$ をかけます。

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.2.2

$50$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$0.5$ を $- 0.5 x^{2} + 50$ で因数分解します。

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ステップ 10.3.1.1

$0.5$ を $- 0.5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.3.1.2

$0.5$ を $50$ で因数分解します。

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.3.1.3

$0.5$ を $0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)$ で因数分解します。

$\frac{0.5 (- x^{2} + 100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.3.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0.5 (- x^{2} + 10^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.3.3

$- x^{2}$ と $10^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{0.5 (10^{2} - x^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 10$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.4

分母を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$0.01$ を $0.01 x^{2} + 1$ で因数分解します。

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ステップ 10.4.1.1

$0.01$ を $0.01 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

ステップ 10.4.1.2

$0.01$ を $1$ で因数分解します。

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100)}^{2}}$

ステップ 10.4.1.3

$0.01$ を $0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100$ で因数分解します。

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2} + 100))}^{2}}$

ステップ 10.4.2

積の法則を $0.01 (x^{2} + 100)$ に当てはめます。

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{0.01}^{2} {(x^{2} + 100)}^{2}}$

ステップ 10.4.3

$0.01$ を $2$ 乗します。

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

ステップ 10.5

$0.5$ を $0.5 (10 + x) (10 - x)$ で因数分解します。

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

ステップ 10.6

$0.0001$ を $0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 ({(x^{2} + 100)}^{2})}$

ステップ 10.7

分数を分解します。

$\frac{0.5}{0.0001} \cdot \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

ステップ 10.8

$0.5$ を $0.0001$ で割ります。

$5000 \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

ステップ 10.9

$5000$ と $\frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{5000 (10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

微分積分 例

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