微分積分例

$(\frac{1}{x - 2}) (\frac{3}{x^{2} + 2})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{x - 2}$ に $\frac{3}{x^{2} + 2}$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

ステップ 1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ を ${((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = (x - 2) (x^{2} + 2)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $(x - 2) (x^{2} + 2)$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $(x - 2) (x^{2} + 2)$ で置き換えます。

$3 (- {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

ステップ 3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 ({((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

ステップ 4

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 5.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 5.4.2

$2$ を $x - 2$ の左に移動させます。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 5.5

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

ステップ 5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

ステップ 5.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + 0))$

ステップ 5.8

式を簡約します。

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ステップ 5.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) \cdot 1)$

ステップ 5.8.2

$x^{2} + 2$ に $1$ をかけます。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.2

積の法則を $(x - 2) (x^{2} + 2)$ に当てはめます。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} ((2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5

項をまとめます。

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ステップ 6.5.1

$- 3$ と $\frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 2)$

ステップ 6.5.8

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$

ステップ 6.6

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$- (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$(- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.8

簡約します。

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ステップ 6.8.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(- 3 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.8.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$(- 3 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.8.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.9

$- 3 x^{2} + 4 x - 2$ に $\frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \cdot 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.10

$3$ を $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (- 3 x^{2} + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.11

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (3 x^{2}) + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.12

$- 1$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.13

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.14

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.15

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.16

$- (3 x^{2} - 4 x + 2)$ を $- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例