微分積分例

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ および $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 \ln (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.2

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3

項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{3}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{x^{3}}{9}$ に $\frac{3}{x}$ をかけます。

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.3

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.4

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

$3$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$3$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.5

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.2.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 4.4

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{9}$ の微分係数は $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

ステップ 4.6

項を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$3$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

ステップ 4.6.2

$x^{2}$ と $\frac{3}{9}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

ステップ 4.6.3

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

ステップ 4.6.4

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

ステップ 4.6.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 5

$(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 6

$(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 8

$3$ と $\frac{x^{2}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

ステップ 9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

ステップ 9.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

ステップ 10.2.1.2

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

ステップ 10.2.2

$x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

ステップ 10.2.2.2

$\ln (x^{3}) x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

ステップ 10.2.3

$\ln (x^{3}) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

ステップ 10.3

$3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{3})$ を展開します。

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

ステップ 10.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

ステップ 10.4.2

$x^{2} (\ln (x))$ を $1$ で割ります。

$x^{2} (\ln (x))$

微分積分 例

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