微分積分例

$(1 + \sec (x)) \sin (x)$

ステップ 1

$f (x) = 1 + \sec (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ をたし算します。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$1 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1.1

$\cos (x)$ と $\sec (x)$ を並べ替えます。

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 5.4.1.2

正弦と余弦に関して $\cos (x) \sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 5.4.1.3

共通因数を約分します。

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 5.4.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 5.4.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x)$

ステップ 5.4.4

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.4.5.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x)$

ステップ 5.4.5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

ステップ 5.5

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$1 + \tan^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 5.6

項を並べ替えます。

$\tan^{2} (x) + 1 + \cos (x)$

ステップ 5.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sec^{2} (x) + \cos (x)$

微分積分 例

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