微分積分例

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 3 x - 9$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 3 x - 9) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 9]$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 9]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + 3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 + 0)$

ステップ 3.7

$2 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} - 9 e^{x} + e^{x} (2 x + 3)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} - 9 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot 3$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} - 9 e^{x} + e^{x} (2 x) + 3 \cdot e^{x}$

ステップ 4.3.2

$3 x e^{x}$ と $e^{x} (2 x)$ をたし算します。

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ステップ 4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 4.3.2.2

$3 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 9 e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 4.3.3

$- 9 e^{x}$ と $3 e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 6 e^{x}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} + 5 e^{x} x - 6 e^{x}$

ステップ 4.5

$e^{x} x^{2} + 5 e^{x} x - 6 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 6 e^{x}$

微分積分 例

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