微分積分例

$r (t) = (t + e^{t}) (4 - \sqrt{t})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [(t + e^{t}) (4 - t^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (t) = t + e^{t}$ および $g (t) = 4 - t^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [4 - t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 - t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$(t + e^{t}) (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 3.2

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$(t + e^{t}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$(t + e^{t}) (- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 8.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$(t + e^{t}) (- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 8.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

ステップ 8.3

総和則では、 $t + e^{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 8.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 9

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$t (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2

項をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$t$ と $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $t^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$- \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.3

指数を足して $t$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.2.3.1

$t$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 10.2.3.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$- \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.4

$e^{t}$ と $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

ステップ 10.2.5

$(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2.6

$(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2.8

$2$ を $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ の左に移動させます。

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + 2 (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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