微分積分例

$\ln (t \cdot 5^{t})$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = t \cdot 5^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t \cdot 5^{t}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $t \cdot 5^{t}$ で置き換えます。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = 5^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

ステップ 4.2

$5^{t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$t$ と $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ をまとめます。

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2.2

$5^{t}$ と $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ をまとめます。

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2.3

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ と $\ln (5)$ をまとめます。

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2.4

$5^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2.5

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2.5.2

$\ln (5)$ を $1$ で割ります。

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

ステップ 5.2.6

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ と $5^{t}$ をまとめます。

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

ステップ 5.2.7

$5^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.7.1

共通因数を約分します。

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

ステップ 5.2.7.2

式を書き換えます。

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{t} + \ln (5)$

微分積分 例

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