微分積分例

$\ln (\sin (t^{2}))$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = \sin (t^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (t^{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (t^{2})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

ステップ 2

$\frac{1}{\sin (t^{2})}$ を $\csc (t^{2})$ に変換します。

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

ステップ 3

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t^{2}$ とします。

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ の因数を並べ替えます。

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\csc (t^{2})$ を書き換えます。

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

ステップ 5.3

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$2$ と $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ をまとめます。

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

ステップ 5.3.2

$\frac{2}{\sin (t^{2})}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

ステップ 5.3.3

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ と $\cos (t^{2})$ をまとめます。

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

ステップ 5.4

分数を分解します。

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

ステップ 5.5

$\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ を $\cot (t^{2})$ に変換します。

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

ステップ 5.6

$2 t$ を $1$ で割ります。

$2 t \cot (t^{2})$

微分積分 例

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