微分積分例

$t \sqrt{10 - 2 t}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10 - 2 t}$ を ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 10 - 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $10 - 2 t$ とします。

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $10 - 2 t$ で置き換えます。

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$t (\frac{{(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$t (\frac{1}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9

総和則では、 $10 - 2 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ です。

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 10

$10$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ をたし算します。

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 2 t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 12

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 2 t$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d t} [t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 2$ と $\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 13.2

$2$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$\frac{2 (- t)}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- t)}{2 ({(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- t)}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{- t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 17

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 19

${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 20

${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

指数を足して ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 22.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{1}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23

${(10 - 2 t)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- t + 10 - 2 t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24

$- t$ から $2 t$ を引きます。

$\frac{- 3 t + 10}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25

項を並べ替えます。

$\frac{- 3 t + 10}{{(- 2 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例