微分積分例

$y = 4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$

ステップ 1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$ です。

$4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$

ステップ 2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = e^{4 t} - e^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (e^{t} \frac{d}{d t} [e^{4 t} - e^{t}] + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 3

総和則では、 $e^{4 t} - e^{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ です。

$4 (e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 t$ とします。

$4 (e^{t} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (e^{t} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$4 (e^{t} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 (e^{t} (e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 5.3.2

$4$ を $e^{4 t}$ の左に移動させます。

$4 (e^{t} (4 \cdot e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 5.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- e^{t}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - \frac{d}{d t} [e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 6

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + e^{4 t} e^{t} - e^{t} e^{t})$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t})) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4

項をまとめます。

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ステップ 8.4.1

指数を足して $e^{t}$ に $e^{4 t}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.1

$e^{4 t}$ を移動させます。

$4 (e^{4 t} e^{t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (e^{4 t + t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.1.3

$4 t$ と $t$ をたし算します。

$4 (e^{5 t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.2

$4$ を $e^{5 t}$ の左に移動させます。

$4 (4 \cdot e^{5 t}) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.3

$4$ に $4$ をかけます。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.4

指数を足して $e^{t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.4.1

$e^{t}$ を移動させます。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} e^{t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t + t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.4.3

$t$ と $t$ をたし算します。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{2 t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.5

$- 1$ を $e^{2 t}$ の左に移動させます。

$16 e^{5 t} + 4 (- 1 \cdot e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.6

$- 1 e^{2 t}$ を $- e^{2 t}$ に書き換えます。

$16 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.8

指数を足して $e^{4 t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.8.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t + t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.8.2

$4 t$ と $t$ をたし算します。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

ステップ 8.4.9

指数を足して $e^{t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.9.1

$e^{t}$ を移動させます。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- (e^{t} e^{t}))$

ステップ 8.4.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t + t})$

ステップ 8.4.9.3

$t$ と $t$ をたし算します。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t})$

ステップ 8.4.10

$- 1$ に $4$ をかけます。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} - 4 e^{2 t}$

ステップ 8.4.11

$16 e^{5 t}$ と $4 e^{5 t}$ をたし算します。

$20 e^{5 t} - 4 e^{2 t} - 4 e^{2 t}$

ステップ 8.4.12

$- 4 e^{2 t}$ から $4 e^{2 t}$ を引きます。

$20 e^{5 t} - 8 e^{2 t}$

微分積分 例

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