微分積分例

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

$\frac{c}{b - a}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ の微分係数は $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ です。

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $e^{- a t} - e^{- b t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ です。

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

ステップ 2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - a t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- a t$ とします。

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- a t$ で置き換えます。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- a$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- a t$ の微分係数は $- a \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

ステップ 3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

ステップ 3.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- e^{- b t}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ です。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - b t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- b t$ とします。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- b t$ で置き換えます。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- b$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- b t$ の微分係数は $- b \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.2

掛け算します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.2.2

$e^{- b t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

ステップ 5.4

$b$ に $1$ をかけます。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ の因数を並べ替えます。

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

ステップ 6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

ステップ 6.3

$- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ に $\frac{c}{b - a}$ をかけます。

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

ステップ 6.4

$- 1$ を $- e^{- a t} a$ で因数分解します。

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

ステップ 6.5

$- 1$ を $e^{- b t} b$ で因数分解します。

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

ステップ 6.6

$- 1$ を $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ で因数分解します。

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

ステップ 6.7

$- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ を $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

ステップ 6.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

ステップ 6.9

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$

微分積分 例

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