微分積分例

$y (t) = (\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{3 t^{3}})$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{3 t^{3}}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{t^{3}}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{t^{3}}]$

ステップ 2

$f (t) = 9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}$ および $g (t) = t^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${(t^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.2

総和則では、 $9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [9 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [9 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.3

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $9 t^{5}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (9 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (9 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.5

$5$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.6

$- 3.9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 3.9 t^{4}$ の微分係数は $- 3.9 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 3.9 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.7

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 3.9 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.8

$4$ に $- 3.9$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.9

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - \frac{d}{d t} [t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.10

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - (3 t^{2})) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.11

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

ステップ 3.12

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) (3 t^{2})}{t^{6}}$

ステップ 3.13

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}}{t^{6}}$

ステップ 3.13.2

$t^{2}$ を $t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.2.1

$t^{2}$ を $t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}}{t^{6}}$

ステップ 3.13.2.2

$t^{2}$ を $- 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) + t^{2} (- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{6}}$

ステップ 3.13.2.3

$t^{2}$ を $t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) + t^{2} (- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{6}}$

ステップ 4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$t^{2}$ を $t^{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{2} t^{4}}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{2} t^{4}}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}}{t^{4}}$

ステップ 5

$t$ を $t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$t$ を $- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) + t (- 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t^{4}}$

ステップ 5.2

$t$ を $t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) + t (- 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t^{4}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$t$ を $t^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t \cdot t^{3}}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t \cdot t^{3}}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{t^{3}}$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ に $\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{t^{3}}$ をかけます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} + (- 3 (9 t^{2}) - 3 (- 3.9 t) - 3 \cdot - 1) t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2}) t^{2} - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 (t^{2} t^{2})) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2 + 2}) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{4}) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.2

$9$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.3

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 (t^{2} t)) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.3.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 (t^{2} t^{1})) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t^{2 + 1}) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t^{3}) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.4

$- 3.9$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.1.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 3 t^{2}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.2

$45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 3 t^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$- 3 t^{2}$ と $3 t^{2}$ をたし算します。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 0}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.2.2

$45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.3

$45 t^{4}$ から $27 t^{4}$ を引きます。

$\frac{18 t^{4} - 15.6 t^{3} + 11.7 t^{3}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.3.4

$- 15.6 t^{3}$ と $11.7 t^{3}$ をたし算します。

$\frac{18 t^{4} - 3.9 t^{3}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.4

$0.3 t^{3}$ を $18 t^{4} - 3.9 t^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$0.3 t^{3}$ を $18 t^{4}$ で因数分解します。

$\frac{0.3 t^{3} (60 t) - 3.9 t^{3}}{3 t^{3}}$

ステップ 8.4.2

$0.3 t^{3}$ を $- 3.9 t^{3}$ で因数分解します。

$\frac{0.3 t^{3} (60 t) + 0.3 t^{3} (- 13)}{3 t^{3}}$

ステップ 8.4.3

$0.3 t^{3}$ を $0.3 t^{3} (60 t) + 0.3 t^{3} (- 13)$ で因数分解します。

$\frac{0.3 t^{3} (60 t - 13)}{3 t^{3}}$

ステップ 8.5

$t^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{0.3 t^{3} (60 t - 13)}{3 t^{3}}$

ステップ 8.5.2

式を書き換えます。

$\frac{0.3 (60 t - 13)}{3}$

ステップ 8.6

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{0.3 (60 t - 13)}{3 (1)}$

ステップ 8.7

分数を分解します。

$\frac{0.3}{3} \cdot \frac{60 t - 13}{1}$

ステップ 8.8

$0.3$ を $3$ で割ります。

$0.1 \frac{60 t - 13}{1}$

ステップ 8.9

$0.1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.1

$0.1$ を $1$ で因数分解します。

$0.1 \frac{60 t - 13}{0.1 \cdot 10}$

ステップ 8.9.2

共通因数を約分します。

$0.1 \frac{60 t - 13}{0.1 \cdot 10}$

ステップ 8.9.3

式を書き換えます。

$\frac{60 t - 13}{10}$

微分積分 例

微分積分例