微分積分例

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 t^{2} - 4 t$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $5 t^{2} - 4 t$ で置き換えます。

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 t^{2} - 4 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ です。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

ステップ 2.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

ステップ 2.4

$2$ に $5$ をかけます。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

ステップ 2.5

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 4 t$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

ステップ 2.7

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$5$ に $2$ をかけます。

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

ステップ 3.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

ステップ 3.3

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ の因数を並べ替えます。

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

ステップ 3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ を展開します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.2

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.2.1

$t^{2}$ を移動させます。

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.2.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 3.5.1.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.3

$10$ に $10$ をかけます。

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.5

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.5.1

$t$ を移動させます。

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.5.2

$t$ に $t$ をかけます。

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.6

$10$ に $- 8$ をかけます。

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.7

$10$ に $- 4$ をかけます。

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

ステップ 3.5.1.8

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

ステップ 3.5.2

$- 80 t^{2}$ から $40 t^{2}$ を引きます。

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

微分積分 例

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