微分積分例

$y = \arcsin (\frac{3}{t^{2}})$

ステップ 1

$f (t) = \arcsin (t)$ および $g (t) = \frac{3}{t^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3}{t^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3}{t^{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{3}{t^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}])$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$3$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{t^{2}}$ を ${(t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2.2

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{- 2}]$

ステップ 2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (- 2 t^{- 3})$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ と $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

ステップ 2.4.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

ステップ 2.4.3

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ と $t^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{- 6 t^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

ステップ 2.4.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{3}{t^{2}}$ に当てはめます。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

ステップ 3.2.2

${(t^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{2 \cdot 2}}} t^{3}}$

ステップ 3.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{4}}} t^{3}}$

微分積分 例

微分積分例