微分積分例

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

ステップ 1

$f (t) = arcsec (t)$ および $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{9 t^{4}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $arcsec (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{9 t^{4}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

ステップ 2

$\frac{1}{9 t^{4}}$ と $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ で割ります。

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

ステップ 4

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

ステップ 5

$\frac{1}{9}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{1}{9 t^{4}}$ の微分係数は $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ です。

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ をかけます。

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

ステップ 6.2

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

ステップ 6.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{t^{4}}$ を ${(t^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

ステップ 6.3.2

${(t^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 6.3.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

ステップ 7

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

$- 4$ と $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

ステップ 8.2

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ と $t^{- 5}$ をまとめます。

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

ステップ 9

指数を足して $t^{4}$ に $t^{- 5}$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$t^{- 5}$ を移動させます。

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

ステップ 9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

ステップ 9.3

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- 1}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

積の法則を $\frac{1}{9 t^{4}}$ に当てはめます。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

ステップ 12.2

積の法則を $9 t^{4}$ に当てはめます。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

ステップ 12.3

項をまとめます。

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ステップ 12.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

ステップ 12.3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

ステップ 12.3.3

${(t^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

ステップ 12.3.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$

微分積分 例

微分積分例