微分積分例

$y = \frac{3 t - 7}{t^{2} + 5 t - 4}$

ステップ 1

$f (t) = 3 t - 7$ および $g (t) = t^{2} + 5 t - 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \frac{d}{d t} [3 t - 7] - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 t - 7$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ です。

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 7$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + 0) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \cdot 3 - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$3$ を $t^{2} + 5 t - 4$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $t^{2} + 5 t - 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ です。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.9

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.11

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.12

$- 4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + 0)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 2.13

$2 t + 5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3.2

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t + 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 t + 7) (2 t + 5)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t + 5) + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5.1.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5.1.4

$5$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5.1.5

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5.1.6

$7$ に $5$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5.2

$- 15 t$ と $14 t$ をたし算します。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$3 t^{2}$ から $6 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 12 - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$15 t$ から $t$ を引きます。

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t - 12 + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$- 12$ と $35$ をたし算します。

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ を $- 3 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2}) + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ を $14 t$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2}) - (- 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- (3 t^{2}) - (- 14 t)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.7

$23$ を $- 1 (- 23)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- (3 t^{2} - 14 t - 23)$ を $- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 t^{2} - 14 t - 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例