微分積分例

$y = {(t^{2} - 4)}^{2}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $t^{2} - 4$ で置き換えます。

$2 (t^{2} - 4) \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $t^{2} - 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ です。

$2 (t^{2} - 4) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (t^{2} - 4) (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

ステップ 2.3

$- 4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 (t^{2} - 4) (2 t + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$2 (t^{2} - 4) (2 t)$

ステップ 2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (t^{2} - 4) t$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(4 t^{2} + 4 \cdot - 4) t$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$4 t^{2} t + 4 \cdot - 4 t$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$t$ を $1$ 乗します。

$4 (t^{1} t^{2}) + 4 \cdot - 4 t$

ステップ 3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 t^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 t$

ステップ 3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 t^{3} + 4 \cdot - 4 t$

ステップ 3.3.4

$4$ に $- 4$ をかけます。

$4 t^{3} - 16 t$

微分積分 例

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