微分積分例

$h (u) = u^{3} {(9 u^{2} - 6)}^{4}$

ステップ 1

$f (u) = u^{3}$ および $g (u) = {(9 u^{2} - 6)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ は $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$u^{3} \frac{d}{d u} [{(9 u^{2} - 6)}^{4}] + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 2

$f (u) = u^{4}$ および $g (u) = 9 u^{2} - 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ は $f' (g (u)) g' (u)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $9 u^{2} - 6$ とします。

$u^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$u^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $9 u^{2} - 6$ で置き換えます。

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $9 u^{2} - 6$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ です。

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 3.2

$9$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $9 u^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d u} [u^{2}]$ です。

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 \frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 (2 u) + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 3.4

$2$ に $9$ をかけます。

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 3.5

$- 6$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + 0)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$18 u$ と $0$ をたし算します。

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 3.6.2

$18$ に $4$ をかけます。

$u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3} u) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 4

指数を足して $u^{3}$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$u$ を移動させます。

$u \cdot u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 4.2

$u$ に $u^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$u$ を $1$ 乗します。

$u^{1} u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u^{1 + 3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 4.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} (3 u^{2})$

ステップ 6

$3$ を ${(9 u^{2} - 6)}^{4}$ の左に移動させます。

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 \cdot {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ を $u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ を $u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3})$ で因数分解します。

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

ステップ 7.1.2

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ を $3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ で因数分解します。

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$

ステップ 7.1.3

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ を $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$ で因数分解します。

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$3$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$3 \cdot u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

ステップ 7.2.2

$24$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (24 \cdot u^{2} + 9 u^{2} - 6)$

ステップ 7.2.3

$24 u^{2}$ と $9 u^{2}$ をたし算します。

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (33 u^{2} - 6)$

微分積分 例

微分積分例