微分積分例

$e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $e^{4 x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.1.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.1.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $4 e^{4 x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{4 x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2.7

$4$ に $4$ をかけます。

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.1.2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.1.2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.1.2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 2.1.2.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 2.1.2.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

ステップ 2.1.2.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

ステップ 2.1.2.3.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $16 e^{4 x} + e^{- x}$ です。

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

解がありません

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が正なので、グラフは上に凹です。

グラフは上に凹です。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例