微分積分例

$y = t \ln^{2} (t)$

ステップ 1

$f (t) = t$ および $g (t) = \ln^{2} (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \ln (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (t)$ とします。

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (t)$ で置き換えます。

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{t}$ と $2$ をまとめます。

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{2}{t}$ と $\ln (t)$ をまとめます。

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.2.2

$t$ と $\frac{2 \ln (t)}{t}$ をまとめます。

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.2.3

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.2.3.2

$2 \ln (t)$ を $1$ で割ります。

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\ln^{2} (t)$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

ステップ 4.4.2

項を並べ替えます。

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

微分積分 例

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