微分積分例

$y = \ln (3 t e^{- t})$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 3 t e^{- t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 t e^{- t}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t e^{- t}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t e^{- t}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ です。

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

ステップ 2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ と $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ をまとめます。

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

ステップ 2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

ステップ 3

$f (t) = t$ および $g (t) = e^{- t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- t$ とします。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.3.2

$- 1$ を $e^{- t}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.3.3

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

ステップ 5.5

$e^{- t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$t$ と $\frac{1}{t e^{- t}}$ をまとめます。

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2.2

$\frac{t}{t e^{- t}}$ と $e^{- t}$ をまとめます。

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2.3

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2.4

$e^{- t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2.4.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

ステップ 6.2.6

$\frac{1}{t e^{- t}}$ と $e^{- t}$ をまとめます。

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

ステップ 6.2.7

$e^{- t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

共通因数を約分します。

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

ステップ 6.2.7.2

式を書き換えます。

$- 1 + \frac{1}{t}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{t} - 1$

微分積分 例

微分積分例