微分積分例

$y = \ln (t^{\frac{3}{2}})$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{\frac{3}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $t^{\frac{3}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7

$\frac{3}{2}$ と $t^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ を $t^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot t^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $t^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{2 t^{\frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

指数を足して $t^{\frac{3}{2}}$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3}{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2 t^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

ステップ 10.1.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3}{2 t^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{3}{2 t^{1}}$

ステップ 10.2

$2 t^{1}$ を簡約します。

$\frac{3}{2 t}$

微分積分 例

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