微分積分例

$f (x) = 3 x^{3} - 9 x$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{3} - 9 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 9 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} - 9$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $9 x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $9$ をかけます。

$18 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$18 x + 0$

ステップ 1.2.3.2

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $18 x$ です。

$18 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $18 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$18 x = 0$

ステップ 2.2

$18 x = 0$ の各項を $18$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$18 x = 0$ の各項を $18$ で割ります。

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{18}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $18$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = 3 x^{3} - 9 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 9 \cdot 0$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 3 \cdot 0 - 9 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 9$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x^{3} - 9 x$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 18 (- 0.1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$18$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 1.8$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $- 1.8$ です。

$- 1.8$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 1.8$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 18 (0.1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$18$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = 1.8$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $1.8$ です。

$1.8$

ステップ 6.3

$0.1$ で二次導関数は $1.8$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, 0)$ です。

$(0, 0)$

ステップ 8

微分積分 例

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