微分積分例

$\frac{2 u}{u^{2} + 3}$

ステップ 1

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $\frac{2 u}{u^{2} + 3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{u^{2} + 3}]$ です。

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{u^{2} + 3}]$

ステップ 2

$f (u) = u$ および $g (u) = u^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ は $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(u^{2} + 3) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 3]}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(u^{2} + 3) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 3]}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

$u^{2} + 3$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{u^{2} + 3 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 3]}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $u^{2} + 3$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [3]$ です。

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [3])}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (2 u + \frac{d}{d u} [3])}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.5

$3$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 u$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (2 u)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4

$u$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 5

$u$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 8

$u^{2}$ から $2 u^{2}$ を引きます。

$2 \frac{- u^{2} + 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 9

$2$ と $\frac{- u^{2} + 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (- u^{2} + 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- u^{2}) + 2 \cdot 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 u^{2} + 2 \cdot 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 2 u^{2} + 6}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.3

$2$ を $- 2 u^{2} + 6$ で因数分解します。

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ステップ 10.3.1

$2$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.3.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (- u^{2}) + 2 (3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.3.3

$2$ を $2 (- u^{2}) + 2 (3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- u^{2} + 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.4

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (u^{2}) + 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.5

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (u^{2}) - 1 (- 3))}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.6

$- 1$ を $- (u^{2}) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (u^{2} - 3))}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.7

$- (u^{2} - 3)$ を $- 1 (u^{2} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (u^{2} - 3))}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 10.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (u^{2} - 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例