微分積分例

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}}$

ステップ 1

$f (w) = 17 w^{2} + 11$ および $g (w) = e^{w^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ は $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(17 w^{2} + 11) \frac{d}{d w} [e^{w^{2}}] + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

ステップ 2

$f (w) = e^{w}$ および $g (w) = w^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $w^{2}$ とします。

$(17 w^{2} + 11) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(17 w^{2} + 11) (e^{u} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $w^{2}$ で置き換えます。

$(17 w^{2} + 11) (e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

ステップ 3.2

総和則では、 $17 w^{2} + 11$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11]$ です。

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

ステップ 3.3

$17$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $17 w^{2}$ の微分係数は $17 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ です。

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 \frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 (2 w) + \frac{d}{d w} [11])$

ステップ 3.5

$2$ に $17$ をかけます。

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + \frac{d}{d w} [11])$

ステップ 3.6

$11$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + 0)$

ステップ 3.7

$34 w$ と $0$ をたし算します。

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(17 w^{2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}}) (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$17 w^{2} e^{w^{2}} (2 w) + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $17$ をかけます。

$34 w^{2} e^{w^{2}} w + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4.3.2

$w$ を $1$ 乗します。

$34 (w^{1} w^{2}) e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$34 w^{1 + 2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4.3.5

$2$ に $11$ をかけます。

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 e^{w^{2}} w + e^{w^{2}} (34 w)$

ステップ 4.3.6

$e^{w^{2}}$ を移動させます。

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 w e^{w^{2}} + 34 w e^{w^{2}}$

ステップ 4.3.7

$22 w e^{w^{2}}$ と $34 w e^{w^{2}}$ をたし算します。

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$

ステップ 4.5

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$ の因数を並べ替えます。

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$

微分積分 例

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