微分積分例

$(3 x^{3} - x + 1) (4 - x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{3} - x + 1$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$(3 x^{3} - x + 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x^{3} - x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(3 x^{3} - x + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{3} - x + 1) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

ステップ 2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

ステップ 2.7

総和則では、 $3 x^{3} - x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.10

$3$ に $3$ をかけます。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + 0)$

ステップ 2.15

$9 x^{2} - 1$ と $0$ をたし算します。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 x^{3} x - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- 6 (x^{1} x^{3}) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 x^{1 + 3} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$- 6 x^{4} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x \cdot x + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.10

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.11

$9$ に $4$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.12

$9$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.13

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.13.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.13.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.14

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 - x^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.5.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + 1 x^{2}$

ステップ 3.5.16

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + x^{2}$

ステップ 3.5.17

$36 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 37 x^{2} - 9 x^{4} - 4$

ステップ 3.5.18

$2 x^{2}$ と $37 x^{2}$ をたし算します。

$- 6 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 9 x^{4} - 4$

ステップ 3.5.19

$- 6 x^{4}$ から $9 x^{4}$ を引きます。

$- 15 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 4$

微分積分 例

微分積分例