微分積分例

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

ステップ 1

$f (w) = w^{8}$ および $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{w^{3} - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

ステップ 1.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{w^{3} - 1}$ で置き換えます。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

ステップ 2

$\frac{1}{w^{3} - 1}$ を ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

ステップ 3

$f (w) = w^{- 1}$ および $g (w) = w^{3} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $w^{3} - 1$ とします。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $w^{3} - 1$ で置き換えます。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

ステップ 4.2

総和則では、 $w^{3} - 1$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ です。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

ステップ 4.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

ステップ 4.4

$- 1$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$3 w^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

ステップ 4.5.2

$3$ を ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ の左に移動させます。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

ステップ 4.5.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

ステップ 5.2

積の法則を $\frac{1}{w^{3} - 1}$ に当てはめます。

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

ステップ 5.3.2

$- 24$ と $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ をまとめます。

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

ステップ 5.3.4

$\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ と $w^{2}$ をまとめます。

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.5

$\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ に $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ をかけます。

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

ステップ 5.3.6

指数を足して ${(w^{3} - 1)}^{2}$ に ${(w^{3} - 1)}^{7}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

ステップ 5.3.6.2

$2$ と $7$ をたし算します。

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

ステップ 5.3.7

$24$ を $w^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

ステップ 5.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

ステップ 5.4.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = w$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

ステップ 5.4.3

簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$w$ に $1$ をかけます。

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

ステップ 5.4.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

ステップ 5.4.4

積の法則を $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ に当てはめます。

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$

微分積分 例

微分積分例