微分積分例

$h (w) = {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2}}$

ステップ 1

$f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ および $g (w) = w^{2} + 2 w + 4$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $w^{2} + 2 w + 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 1.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $w^{2} + 2 w + 4$ で置き換えます。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 5.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 6

$\frac{5}{2}$ と ${(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

ステップ 7

総和則では、 $w^{2} + 2 w + 4$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4]$ です。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

ステップ 8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

ステップ 9

$2$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $2 w$ の微分係数は $2 \frac{d}{d w} [w]$ です。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [4])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [4])$

ステップ 11

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + \frac{d}{d w} [4])$

ステップ 12

$4$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + 0)$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$2 w + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$

ステップ 13.2

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$ の因数を並べ替えます。

$(2 w + 2) \frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

微分積分 例

微分積分例